# 0x01 时间序列概念

## 时间序列

时间序列是一系列的数据点, 点与点之间有着**常数时间的间隔**, 比如每秒, 每天, 每月, 每年一个数据点, 组成的一个序列. 作为时间序列, 有着与其他序列不同的, 独特的性质:

* 与时间强相关, 因此观测值之间就不再像其他的数据一样, 观测值之间是相关的, 而不是独立的
* 有**趋势trend**和**季节性seasonality**

因此, 时间序列的分析有着其独特的处理形式.

时间序列从性质上分为三种:

* **白噪声序列**(纯随机序列): 完全随机. 这种序列不需分析, 也无法分析
* **平稳非白噪声序列**: 对于这种序列, 有成熟的时间序列模型可以拟合, 是我们研究的对象, 其他形式的时间序列都需要转换成平稳序列, 才能继续分析和建模.

  另外白噪声序列也是平稳序列.
* **非平稳序列**: 需要将这种序列转换成平稳序列, 才可以继续进行分析和建模

## 平稳性

### 为什么序列要有平稳性

大多数时间序列模型建立在平稳序列上, 关于平稳序列的建模理论更成熟. 直观理解就是: 平稳序列, 序列更有**重复性**, 序列历史中的某种表现, 在未来也有很大的概率重现.

### 平稳性的表现

如果一个时间序列是平稳的, 那么序列的**统计属性**, 如**均值**, **方差**等, 都不随时间而改变

具体来说, 平稳的时间序列有以下的性质:

* 均值是常数
* 方差是常数
* 自协方差(autocovariance)与时间无关

### 判断平稳性

如何判断一个时间序列是否是平稳的, 通常通过以下的方法:

* 绘制统计量的滚动图: 选取一个时间窗口, 求窗口截取的子时间序列的均值, 方差等统计值的观测值, 然后观察它们是否随着时间变化. 这是一种主观的方法, 只可做大致的可视化体现和判断.
* **Dickey-Fuller检验**: 这是一种统计检验方法. 原假设是时间序列是非平稳序列. 具体的原理在时间序列使用到的所有统计检验方法中有详细描述. 在`Python`中的使用方法如下:

  ```python
  from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

  dftest = adfuller(timeseries, autolag='AIC')
  dfoutput = pd.Series(dftest[0:4], index=['Test Statistic','p-value','#Lags Used','Number of Observations Used'])
  ```

### 非平稳的原因

现实世界中的时间序列基本都是非平稳的, 时间序列不平稳的主要原因主要有以下两个:

* **趋势trend**: 均值随着时间变化
* **季节性seasonality**: 在特定的时间范围内产生的变化

### 非平稳序列转化为平稳序列

由于非平稳序列的来源于以上两点相关, 因此要将非平稳序列转换成平稳序列就需要消除时间序列中的**趋势**和**季节性**.

### 消除趋势

* 使用**非线性转换函数**. 所选的函数应当是一个递增函数, 原来较大的值转换后还是更大, 但**缩小了原始较大值与较小值**之间的差别. 常用的这类函数有:
  * **log**
  * **square root 平方根**
  * **cube root 立方根**
* **聚合方法Aggregation**: 选择一个时间窗口, 然后求每个时间窗口的**均值**, 作为新的时间序列
* **平滑Smoothing**: 对时间序列取**移动平均值**
* **多项式回归拟合Ploynomial Fitting**: 拟合一个回归模型

### 平滑方法

平滑方法在时间序列处理中占有着总要的地位, 是消除趋势的重要的方法.

**做法为**: 对时间序列通过各种**移动平均**的方法进行平滑, 得到均值曲线, 并把这个曲线作为趋势, 将原来的时间序列与这个曲线相减, 就去除了时间序列中的**趋势部分**.

这个方法只能去除序列中的趋势部分, 而且如果使用窗口, 会损失掉平滑时使用的窗口大小的样本.

#### Moving Average(MA)

根据时间序列的频率, 选取一个大小固定的窗口, 计算窗口截取的子序列的均值, 然后逐个移动窗口计算. 对应于`Pyhton`中的方法为:

```python
pd.Series.rolling(window=k).mean()
pd.DataFrame.rolling(window=k).mean()
```

这样做的缺点为:

* 将会损失前$$k-1$$个样本, $$k$$是选取的窗口的长度
* 对于**频率**不是定值的时间序列(如股票价格), 选择的时间窗口的大小无法确定

这种方法因为窗口中的每个样本求平均时都是相同的权值, 因此也称为Simple Moving Average(SMA).

#### Weighted Moving Average

但通常, 我们认为时间更近的样本, 重要性越高, 因此在求平均时占的比重应该越大, 越远的权值应该越小. 因此Weighted Moving Average就是一种**权值不等求均值**的思想.

#### Exponential Weighted Moving Average(EWMA)

每个样本权重的评估有多重方法, 这里的EWMA是最常用的方法, 它使用如下的公式计算得到新的均值:

![](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ece5e7437b18e4955d3e8894426eb819f9eda6)

因此可以看出, 如果衰减比例是$$\alpha$$的话($$\alpha<1$$), 最近的时间点对应的权重是$$\alpha$$, 第二近的权重为$$\alpha(1-\alpha)$$依次类推下去, 行程一种指数的形式, 这就是**指数移动平均**名称的由来.

![](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc1b4ba47fbc9c5a2421c2b332b806398ade8b3)

使用指数移动平均有一个优点为: **不损失样本**. 而使用窗口平均的方法都会损失窗口大小-1个的样本.

在`Python`中的使用方法为:

```python
# 具体使用alpha值的设定参考pd.Series.ewm函数的说明
pd.Series.ewm(...).mean()
```

### 移除趋势和季节性的方法

上面说的几种方法都是**单独去除趋势**的方法. 这里要说的是**同时去除趋势和季节性**, 得到平稳序列的方法.

#### 差分 Differencing

一阶差分即使用当前序列减去右移**time lag**时间片之后, 两个序列的差组成的序列(因此会有序列长度的损失). 通常的差分对应的**time lag = 1**, 即:

![](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d29193070515cbacc44e9f2e2d4c4ec69ec685)

二阶差分是对一阶差分得到的序列再进行一次差分, 而不是time lag = 2之后再重新计算:

![](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e83f9ed5de7d6f2d61f3b346363cf2c4282dc0f)

单独提一句, **季节差分**指的就是time lag不为1, 而等于季节频率(一个季节包含的节点的数量). 一阶季节差分为:

![](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7571fe17f9f52be595b7b41c82072fe2a2630801)

[Autoregressive integrated moving average](https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_integrated_moving_average#Differencing)中有关于差分的介绍.

#### 分解 Decomposing

根据上面内容, 我们认为时间序列的非线性部分来自于**趋势**和**季节性**, 如果我们从时间序列中去除了这两者, 剩余的部分应当是平稳的部分.

因此我们认为时间序列由:

* 趋势
* 季节性
* 残差

三部分组成. 将时间序列构建成由这三部分组成的模型, 通过分解的技术将各成分进行还原. 通常我们认为有**加法模型**和**乘法模型**两种模型, 分别为:

$$X=T+S+e$$

$$X=T \cdot S \cdot e$$

其中$$T$$是趋势, $$S$$是季节性, $$e$$是残差部分. 在`Python`中, 分解的方法为:

```python
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose

decomposition = seasonal_decompose(x, model='additive', filt=None, freq=None, two_sided=True, extrapolate_trend=0)
trend = decomposition.trend
seasonal = decomposition.seasonal
residual = decomposition.resid
```

通过`model`参数选择`additive`加法模型或`multiplicative`乘法模型. 然后将获得的**残差**`residual`当作新的时间序列, 进行进一步的分析和建模.

如何判断一个时间序列是适用于加法模型还是乘法模型呢, 在后面的例子中会有涉及.

需要**注意**的是, 如果一个序列是**乘法模型**, 可以直接对这个时间序列作用`log`函数, 将其转换成**加法模型**, 然后再通过**差分**的方法将其转换成平稳序列, 而再不需要使用分解的方法了.

### 时间序列的预测

经过以上处理后, 得到的序列可能是以下两种情况:

* 白噪声序列, 即原时间序列只有趋势和季节性成分, 因此只需还原趋势和季节性的成分, 就可以对未来的序列做出预测. 这种情况在现实情况中非常罕见
* 时间序列的当前值显著依赖于若干个其他值(如过去值). 通常我们需要使用**ARIMA**模型对其进行建模

### 预测数据还原

假设我们建立了适当的模型, 对时间序列的未来进行了预测, 由于我们对原序列进行了多种方法的处理, 因此这里的预测是对处理后的**平稳序列**做出的预测, 要对应得到原时间序列的预测, 需要进行数据的**还原**工作.

* 差分还原

  首先是差分还原. 差分对应的反函数是**累加**, 即`Python`中的`np.cumsum`操作. 对于一阶差分:

  * 通过`np.cumsum`函数进行累加还原
  * 每个时间点再统一加上第一个时间点的值, 再把差分抛弃的第一个时间点的值拼接上

  这样我们就得到和还原后的序列.

  对于高阶差分, 我们只需要重复上面的两步对应的次数即可.
* 转换还原

  如果在一开始使用了`log`等非线性转换函数(如原序列为乘法模型, 使用`log`函数转换成加法模型), 还需要使用这个函数的反函数进行还原, `log`函数对应的就是指数函数.

## 参考资料

* [Complete guide to create a Time Series Forecast (with Codes in Python)](https://www.analyticsvidhya.com/blog/2016/02/time-series-forecasting-codes-python/)
* [时间序列分析](https://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/62053938)
* [时间序列相关算法与分析步骤](https://blog.csdn.net/qq_33414271/article/details/79588126?utm_medium=referral)


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