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# 0x01 假设检验基础

## 假设检验

### 与参数估计的区别

**假设检验**与**参数估计**是统计推断的两个部分, 都是**利用样本对总体进行某种判断**, 但推断的角度不同, 主要体现在:

* 参数估计是用样本统计量估计总体参数的方法, 总体参数$$\theta$$在估计前是未知的
* 假设检验首先对$$\theta$$的值提出一个假设, 然后利用样本信息去检验这个假设是否正确.

### 假设检验的基本问题

* **原假设**: 用一个**等式**或者**不等式**表示问题的**原假设(null hypothesis)**, 原假设用$$H\_0$$表示.

  原假设一般是我们想要**否认**的情况, 通常会通过假设检验否认这个问题, 从而它的相反观点得到支持.
* **备择假设**: 如果原假设不成立, 就要拒绝原假设, 而需要在另一个假设中做出选择, 这个假设称为**备择假设(alternative hypothesis)**.

  原假设与备择假设**互斥**.

### 假设检验的两类错误

我们依据样本提供的信息进行判断, 其实本质是**由部分推断总体**, 因此得出的判断结论就有可能是错误的. 所犯的错误有两种类型:

* 第I类错误: 原假设$$H\_0$$为真, 但是被我们拒绝了, 这种错误的概率用$$\alpha$$表示, 也称为$$\alpha$$错误或弃真错误
* 第II类错误: 原假设为假, 但是我们接受了, 这种错误的概率用$$\beta$$表示, 也称为$$\beta$$错误或取伪错误

对于一定的样本量$$n$$, **不能同时**做到减小这两类错误, 想减少某类错误的概率, 另一类错误的概率就会增加. 只有增大样本量, 才能同时降低两类错误的概率.

一般采用控制$$\alpha$$错误的原则, 这是因为原假设通常都是明确的, 而备择假设通常是模糊的.

假设检验中两类错误的情况如下图所示:

![](http://1077.edu.jg.com.cn:81/forum/201407/04/144838natx4k9o31xxa89j.jpg)

### 假设检验的流程

* 提出原假设和备择假设
* 确定适当的**检验统计量**, 并计算其数值. 参数的假设检验如同参数估计, 借助样本统计量进行统计推断, 这里将这个统计量称为**检验统计量**.
* 进行统计决策. 假设检验的原理是利用**小概率原理**, 即发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎不可能发生的.
  * 判断的标准是: 将计算得到的**检验统计量的数值**与**指定的一个小概率**在选择的统计量所对应的分布中, 对应的坐标值进行比较
  * 或者相反, 将检验统计量的数值转换成按照原假设成立情况下, 对应分布所对应的拒绝域对应的概率值, 再与指定的小概率进行比较
  * 两者的本质是相同的

### 利用P值进行决策

**P值**就是当原假设为真时, 得到的当前样本结果或更极端结果出现的概率. 如果P值很小, 说明这种情况发生的概率很小, 根据小概率原理, 我们就有理由拒绝原假设.

P值是通过计算得到的, P值得大小与三个因素有关:

* 样本数据与原假设之间的差异
* 样本量
* 被假设的参数的总体分布

P值反应了观察到的实际数据与原假设之间不一致的概率值, 根据事先确定的**显著性水平**$$\alpha$$, 针对**单侧检验**和**双侧检验**, 分别根据$$P<\alpha/2$$与$$P<\alpha$$拒绝原假设.

**注意**:

* 对于P值的使用, 需要注意的一点是, P值的大小与**样本量**有关, 需要特别注意样本量的大小, **较大的样本会提高显著性检验的敏感度**, 这是因为大样本量的情况下方差一般会因样本量的增多而减小, 导致相同的差距使用方差衡量会变大.

  因此显著性检验不仅要看最后得出的P值, 也要参考做出这次检验的样本量$$n$$.
* 置信区间可以估计未知总体参数的值, 同时告诉我们不确定的程度有多大; 而显著性检验只度量不利于原假设的证据的强度.

## 检验假设的解释

* 对于显著性水平为$$\alpha$$的检验准则而言, 如果出现拒绝$$H\_0$$的结果, 可以说, 结论$$H\_1$$为真的出错概率为$$\alpha$$.
* 把假设检验中出现接受$$H\_0$$的结果解释为没有发现充足的证据反对$$H\_0$$, 但不能说原假设是真的. 即不拒绝$$H\_0$$不能保证$$H\_0$$为真, 这是在规定的显著性水平上无法拒绝原假设.
* 由**小概率原理**, 备择假设在一次试验中不容易发生, 但一旦发生, 我们就有充足的理由推翻原假设.