0x02 单个总体参数的区间估计

总体均值的区间估计

研究一个总体时, 关心:

• 总体均值$\mu$

• 总体方差$\sigma^2$

• 总体比例$\pi$

需要考虑的条件有:

• 总体是否为正态分布

• 总体方差是否已知

• 构造估计量的样本的样本容量($n\ge30$为大样本, 反之为小样本)

正态总体, 方差已知

非正态总体, 大样本

这两种情况是一样的, 可以使用相同的方法进行估计. 这是因为在这两种情况下, 样本均值$\bar{x}$的抽样分布为正态分布, 均值为$\mu$, 方差为$\sigma^2/n$, 当总体的方差未知但大样本的情况下, 可以用样本方差$s^2$代替$\sigma^2$.

总体均值$\mu$, 在$1-\alpha$置信水平下, 置信区间为:

$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中$\alpha$为事先确定好的风险值, $1-\alpha$为置信水平, $z_{\alpha/2}$是标准正态分布右侧面积为$\alpha/2$时的$z$值, $z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$是估计总体均值时的估计误差.

正态总体, 方差未知, 小样本

这时的样本均值$\bar{x}$的抽样分布仍是正态分布, 但由于总体的方差未知, 又是小样本, 不能直接使用样本方差$s^2$代替$\sigma^2$. 构造:

$t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

则样本均值经过标准化以后的随机变量服从自由度为$n-1$的$t$分布. 因此, 使用$t$分布连建立总体均值$\mu$的置信区间:

$\bar{x}\pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$

其中$t_{\alpha/2}$是自由度为$n-1$的$t$分布右侧面积为$\alpha/2$时的$t$值, 可以通过查表获得.

观察与上面使用正态分布构建置信区间方法, 其单位误差都为$\frac{s}{\sqrt{n}}$, 但倍数分别为$z_{\alpha/2}$和$t_{\alpha/2}$, 来自于不同的分布.

总体比例的区间估计

只讨论大样本情况下总体比例的估计问题. 判断是否为大样本的标准有:

• 区间$p\pm 2\sqrt{p(1-p)/2}$不包含0和1
• $np\ge5$且$n(1-p)\ge5$

当样本量足够大时, 比例$p$的抽样分布近似于正态分布. 期望为$E(p)=\pi$, 方差为$\sigma^2_p=\frac{\pi(1-\pi)}{n}$, 样本比例标准化之后服从标准正态分布, 即:

$z=\frac{p-\pi}{\sqrt{\pi(1-\pi)/n}}\sim N(0,1)$

因此, 总体比例$\pi$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为:

$p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}$

上式要求$\pi$是已知的, 但这正是我们要估计的, 因此用样本比例$p$来代替$\pi$(大样本保证):

$p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

总体方差的区间估计

只讨论正态总体的方差估计问题. 前面表明, 样本方差服从自由度为$n-1$的$\chi^2$分布, 因此用$\chi^2$分布构造总体方差的置信区间.

给定一个显著性水平$\alpha$, 则总体方差$\sigma^2$的置信区间满足:

$\chi^2_{1-\alpha/2}\le\chi^2\le\chi^2_{\alpha/2}$

又由于$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$, 用左侧的表达式来代替$\chi^2$, 有:

$\chi^2_{1-\alpha/2}\le\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\le\chi^2_{\alpha/2}$

得到置信区间为:

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}\le\sigma^2\le\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}$