Gamma分布

Gamma函数

Gamma函数是一个是实数域的函数:

$\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$

形如:

具有性质:

• 递归性质: $\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$

• $\Gamma(x)$函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓, 即在实数集上的阶乘函数: $\Gamma(n) = (n-1)!$

Gamma分布

Gamma分布的概率密度

Gamma函数在概率统计中与众多的统计分布有关, 包括常见的统计学三大分布($t$分布, $\chi^2$分布, $F$分布), Beta分布, Dirichlet分布的密度公式中都有Gamma函数的身影.

当然发生最直接联系的概率分布是直接由Gamma函数变换得到的Gamma分布.

对Gamma函数的定义做一个变形, 可以得到:

$\int_0^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}dx = 1$

积分值为1, 所以积分中的函数就是一个概率密度函数, 这就是Gamma分布的概率密度函数:

$Gamma(x|\alpha) = \frac{x^{\alpha-1}e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}$

做一个变换$x=\beta t$, 就得到Gamma分布的更一般的形式:

$Gamma(t|\alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha t^{\alpha-1}e^{-\beta t}}{\Gamma(\alpha)}$

所以Gamma分布有两个参数:

• $\alpha$称为shape parameter, 主要决定了分布曲线的形状

• $\beta$称为rate parameter或inverse scale parameter, 主要决定曲线有多陡

不同参数下Gamma分布的概率密度图如下所示:

Gamma分布的迷人之处

Gamma分布与Gamma函数一样, 在概率统计领域也是一个万人迷, 众多统计分布和它有密切关系.

• Gamma分布作为先验分布很强大, 在贝叶斯统计分析中被广泛的用作其它分布的先验

• 指数分布和$\chi^2$分布都是特殊的Gamma分布

• 与以下分布有着共轭关系: 指数分布, 泊松(Poission)分布, 正态分布, 对数正态分布

与Poission的一致性

参数为$\lambda$的Poisson分布, 概率写为:

$Poisson(X=k|\lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Gamma分布的密度中取$\alpha = k+1$, $\beta=1$得到:

$Gamma(x|\alpha=k+1) = \frac{x^ke^{-x}}{\Gamma(k+1)}= \frac{x^k e^{-x}}{k!}$

所以这两个分布数学形式上是一致的, 只是Poisson分布是离散的, Gamma分布是连续的

参考资料

[LDA数学八卦-1]神奇的Gamma函数