0x02 单个总体参数的检验

检验统计量

在单个总体的参数检验中, 使用到的统计量有三个:

• $z$统计量, 即服从标准正态分布

• $t$统计量

• $\chi^2$统计量

某种检验中使用哪种统计量, 需要根据:

• 样本量$n$的大小

• 总计标准差$\sigma$是否已知

• 总计分布是否服从正态分布

等因素综合判断, 然后选择.

总体均值的检验

样本量大

选用$z$统计量.

$z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$

再根据显著性水平$\alpha$, 查表得到临界值$z_{\alpha}$(单侧检验)或$z_{\alpha/2}$双侧检验. 如果$|z| \gt |z_{\alpha/2}|$, 则拒绝原假设.

样本量小, $\sigma$已知

仍然选用$z$统计量.

$z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

找到临界值, 进行判断, 判断是否拒绝原假设.

样本量小, $\sigma$未知

采用$t$统计量.

$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$

且遵循自由度为$n-1$的$t$分布, 查表获得$t_{\alpha/2}(n-1)$(单侧)的值进行判断是否拒绝原假设.

总体比例的检验

总体比例只有在样本量大的时候才有检验的意义, 小样本量极不稳定, 这种情况下的检验是没有意义的.

在样本量大的情况下, 可以把二项分布问题变换为正态分布问题来求解, 采用$z$统计量.

$z=\frac{p-\pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_)}{n}}}$

其中$p$为样本比例, $\pi_0$为总体比例$\pi$的假设值. 然后查表得到临界值$z_{\alpha}$(单侧检验)或$z_{\alpha/2}$双侧检验. 如果$|z| \gt |z_{\alpha/2}|$, 则拒绝原假设.

总体方差的检验

方差检验使用的是$\chi^2$统计量:

$\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

卡方与$z$统计量$t$统计量一样, 在确定的显著性水平$\alpha$下, 有着固定的拒绝域. 若进行双侧检验, 拒绝域分布在$\chi^2$统计量分布曲线的两边; 如果是单侧检验, 拒绝域分布在$\chi^2$统计量分布曲线的一边(左边还是右边, 需要根据原假设来确定).

例如单侧检验, 且拒绝域在右边, 如果统计量满足$\chi^2 \ge \chi^2_{\alpha}(n-1)$, 则拒绝原假设, 否则不能拒绝.