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# 0x02 单个总体参数的检验

## 检验统计量

在单个总体的参数检验中, 使用到的统计量有三个:

* $$z$$统计量, 即服从标准正态分布
* $$t$$统计量
* $$\chi^2$$统计量

某种检验中使用哪种统计量, 需要根据:

* 样本量$$n$$的大小
* 总计标准差$$\sigma$$是否已知
* 总计分布是否服从正态分布

等因素综合判断, 然后选择.

## 总体均值的检验

### 样本量大

选用$$z$$统计量.

$$z=\frac{\bar{x}-\mu\_0}{s/\sqrt{n}}$$

再根据**显著性水平**$$\alpha$$, 查表得到临界值$$z\_{\alpha}$$(单侧检验)或$$z\_{\alpha/2}$$双侧检验. 如果$$|z| \gt |z\_{\alpha/2}|$$, 则拒绝原假设.

### 样本量小, $$\sigma$$已知

仍然选用$$z$$统计量.

$$z=\frac{\bar{x}-\mu\_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$

找到临界值, 进行判断, 判断是否拒绝原假设.

### 样本量小, $$\sigma$$未知

采用$$t$$统计量.

$$t=\frac{\bar{x}-\mu\_0}{s/\sqrt{n}}$$

且遵循自由度为$$n-1$$的$$t$$分布, 查表获得$$t\_{\alpha/2}(n-1)$$(单侧)的值进行判断是否拒绝原假设.

## 总体比例的检验

总体比例只有在样本量大的时候才有检验的意义, 小样本量极不稳定, 这种情况下的检验是没有意义的.

在样本量大的情况下, 可以把二项分布问题变换为正态分布问题来求解, 采用$$z$$统计量.

$$z=\frac{p-\pi\_0}{\sqrt{\frac{\pi\_0(1-\pi\_)}{n}}}$$

其中$$p$$为样本比例, $$\pi\_0$$为总体比例$$\pi$$的假设值. 然后查表得到临界值$$z\_{\alpha}$$(单侧检验)或$$z\_{\alpha/2}$$双侧检验. 如果$$|z| \gt |z\_{\alpha/2}|$$, 则拒绝原假设.

## 总体方差的检验

方差检验使用的是$$\chi^2$$统计量:

$$\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$$

卡方与$$z$$统计量$$t$$统计量一样, 在确定的显著性水平$$\alpha$$下, 有着固定的拒绝域. 若进行双侧检验, 拒绝域分布在$$\chi^2$$统计量分布曲线的两边; 如果是单侧检验, 拒绝域分布在$$\chi^2$$统计量分布曲线的一边(左边还是右边, 需要根据原假设来确定).

例如单侧检验, 且拒绝域在右边, 如果统计量满足$$\chi^2 \ge \chi^2\_{\alpha}(n-1)$$, 则拒绝原假设, 否则不能拒绝.