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# 0x03 两个总体参数的区间估计

两个总体之间, 我们关心:

* 均值之差$$\mu\_1-\mu\_2$$
* 比例之差$$\pi\_1-\pi\_2$$
* 方差比$$\sigma^2\_1/\sigma^2\_2$$

## 两个总体均值之差的区间估计

### 独立样本

如果两个样本是从两个总体中独立抽取的, 即两个样本中的元素之间相互独立, 则称为**独立样本**.

#### 大样本的估计

如果两个总体都为正态分布, 或者两个样本都是大样本, 则两个样本均值之差服从期望为$$\mu\_1-\mu\_2$$, 方差为$$\frac{\sigma^2\_1}{n\_1}+\frac{\sigma^2\_2}{n\_2}$$的正态分布, 因此在$$1-\alpha$$置信水平下的置信区间为:

$$(\bar{x}\_1-\bar{x}*2)\pm z*{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2\_1}{n\_1}+\frac{\sigma^2\_2}{n\_2}}$$

当两个总体的方差未知时, 在大样本的情况下可以使用样本方差$$s^2\_1$$和$$s^2\_2$$来代替, 此时的置信区间为:

$$(\bar{x}\_1-\bar{x}*2)\pm z*{\alpha/2}\sqrt{\frac{s^2\_1}{n\_1}+\frac{s^2\_2}{n\_2}}$$

#### 小样本的估计

出于以下的假设, 对两个总体的均值之差做估计:

* 两个总体都服从正态分布
* 两个随机样本独立地分别抽自两个总体

分为以下几种情况:

1. 两个总体的方差未知但相等, 即$$\sigma^2\_1=\sigma^2\_2$$, 此时需要用两个样本的方差$$s^2\_1$$和$$s^2\_2$$来估计, 将两个样本的数据组合在一起, 给出新的总体方差的合并估计量:

   $$s^2\_p=\frac{(n\_1-1)s^2\_1+(n\_2-1)s^2\_2}{n\_1+n\_2-2}$$

   两个样本均值之差经过标准化后, 服从自由度为$$n\_1+n\_2-2$$的$$t$$分布:

   $$t=\frac{(\bar{x}\_1-\bar{x}\_2)-(\mu\_1-\mu\_2)}{s\_p\sqrt{\frac{1}{n\_1}+\frac{1}{n\_2}}}\sim t(n\_1+n\_2-2)$$

   因此两个总体均值之差$$\mu\_1-\mu\_2$$在$$1-\alpha$$置信水平下的置信区间为:

   $$(\bar{x}\_1-\bar{x}*2)\pm t*{\alpha/2}(n\_1+n\_2-2)\sqrt{s^2\_p(\frac{1}{n\_1}+\frac{1}{n\_2})}$$
2. 两个总体的方差未知且不相等时. 两个样本均值之差经过标准化后近似服从自由度为$$v$$的$$t$$分布, 其中自由度$$v$$的计算公式为:

   $$\begin{aligned}v=\frac{(\frac{s^2\_1}{n\_1}+\frac{s^2\_2}{n\_2})^2}{\frac{(s^2\_1/n\_1)}{n\_1-1}\frac{(s^2\_2/n\_2)}{n\_2-1}}\end{aligned}$$

   因此置信区间为:

   $$(\bar{x}\_1-\bar{x}*2)\pm t*{\alpha/2}(v)\sqrt{\frac{s^2\_1}{n\_1}+\frac{s^2\_2}{n\_2}}$$

### 匹配样本

上面是两个样本是来自于两个总体, 是完全独立的. 而匹配样本中的两个样本的采样是有关联性的.

#### 大样本

在大样本条件下, 两个总体均值之差$$\mu\_d=\mu\_1-\mu\_2$$在$$1-\alpha$$的置信水平下的置信区间为:

$$\bar{d}\pm z\_{\alpha/2}\frac{\sigma\_d}{\sqrt{n}}$$

$$d$$表示两个匹配样本对应数据的差值, $$\bar{d}$$表示各差值的均值, $$\sigma\_d$$表示各差值的标准差, 总体的$$\sigma\_d$$未知时, 可用样本差值的标准差$$s\_d$$代替.

#### 小样本

小样本情况下, 假定两个总体**各观测值的配对差**服从正态分布, 则总体均值之差$$\mu\_d=\mu\_1-\mu\_2$$在$$1-\alpha$$的置信水平下的置信区间为:

$$\bar{d}\pm t\_{\alpha/2}(n-1)\frac{s\_d}{\sqrt{n}}$$

## 两个总体比例之差的区间估计

两个样本比例之差的抽样分布服从正态分布, 经过标准化后服从标准正态分布:

$$Z=\frac{(p\_1-p\_2-(\pi\_1-\pi\_2))}{\sqrt{\frac{\pi\_1(1-\pi\_1)}{n\_1}+\frac{\pi\_2(1-\pi\_2)}{n\_2}}} \sim N(0,1)$$

则两个总体比例之差$$\pi\_1-\pi\_2$$在$$1-\alpha$$置信水平下的置信区间为:

$$(p\_1-p\_2) \pm z\_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p\_1(1-p\_1)}{n\_1}+\frac{p\_2(1-p\_2)}{n\_2}}$$

上式中使用样本比例$$p$$来代替未知的总体比例$$\pi$$.

## 两个总体方差比的区间估计

一般在比较稳定性, 精度时会使用到方差比进行比较.

两个样本方差比的抽样分布服从$$F(n\_1-1,n\_2-1)$$分布, 因此可以用$$F$$分布来构造方差比的置信区间, 即找到满足下面条件的$$F$$值:

$$F\_{1-\alpha/2} \le F \le F\_{\alpha/2}$$

根据之前得到的方差比的抽样分布, 有$$\frac{s^2\_1}{s^2\_2}\frac{\sigma^2\_2}{\sigma^2\_1} \sim F(n\_1-1,n\_2-1)$$, 用左侧来代替上式中的$$F$$值, 得到:

$$F\_{1-\alpha/2} \le \frac{s^2\_1}{s^2\_2}\frac{\sigma^2\_2}{\sigma^2\_1} \le F\_{\alpha/2}$$

因此得到两个总体的方差比$$\frac{\sigma^2\_1}{\sigma^2\_2}$$在$$1-\alpha$$置信水平下的置信区间为:

$$\frac{s^2\_1/s^2\_2}{F\_{\alpha/2}} \le \frac{\sigma^2\_1}{\sigma^2\_2} \le \frac{s^2\_1/s^2\_2}{F\_{1-\alpha/2}}$$