0x03 两个总体参数的区间估计

两个总体之间, 我们关心:

• 均值之差$\mu_1-\mu_2$

• 比例之差$\pi_1-\pi_2$

• 方差比$\sigma^2_1/\sigma^2_2$

两个总体均值之差的区间估计

独立样本

如果两个样本是从两个总体中独立抽取的, 即两个样本中的元素之间相互独立, 则称为独立样本.

大样本的估计

如果两个总体都为正态分布, 或者两个样本都是大样本, 则两个样本均值之差服从期望为$\mu_1-\mu_2$, 方差为$\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}$的正态分布, 因此在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为:

$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}$

当两个总体的方差未知时, 在大样本的情况下可以使用样本方差$s^2_1$和$s^2_2$来代替, 此时的置信区间为:

$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}$

小样本的估计

出于以下的假设, 对两个总体的均值之差做估计:

• 两个总体都服从正态分布

• 两个随机样本独立地分别抽自两个总体

分为以下几种情况:

1. 两个总体的方差未知但相等, 即$\sigma^2_1=\sigma^2_2$, 此时需要用两个样本的方差$s^2_1$和$s^2_2$来估计, 将两个样本的数据组合在一起, 给出新的总体方差的合并估计量:

   $s^2_p=\frac{(n_1-1)s^2_1+(n_2-1)s^2_2}{n_1+n_2-2}$

   两个样本均值之差经过标准化后, 服从自由度为$n_1+n_2-2$的$t$分布:

   $t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$

   因此两个总体均值之差$\mu_1-\mu_2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为:

   $(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\sqrt{s^2_p(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}$
2. 两个总体的方差未知且不相等时. 两个样本均值之差经过标准化后近似服从自由度为$v$的$t$分布, 其中自由度$v$的计算公式为:

   $\begin{aligned}v=\frac{(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2})^2}{\frac{(s^2_1/n_1)}{n_1-1}\frac{(s^2_2/n_2)}{n_2-1}}\end{aligned}$

   因此置信区间为:

   $(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{\alpha/2}(v)\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}$

匹配样本

上面是两个样本是来自于两个总体, 是完全独立的. 而匹配样本中的两个样本的采样是有关联性的.

大样本

在大样本条件下, 两个总体均值之差$\mu_d=\mu_1-\mu_2$在$1-\alpha$的置信水平下的置信区间为:

$\bar{d}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma_d}{\sqrt{n}}$

$d$表示两个匹配样本对应数据的差值, $\bar{d}$表示各差值的均值, $\sigma_d$表示各差值的标准差, 总体的$\sigma_d$未知时, 可用样本差值的标准差$s_d$代替.

小样本

小样本情况下, 假定两个总体各观测值的配对差服从正态分布, 则总体均值之差$\mu_d=\mu_1-\mu_2$在$1-\alpha$的置信水平下的置信区间为:

$\bar{d}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{s_d}{\sqrt{n}}$

两个总体比例之差的区间估计

两个样本比例之差的抽样分布服从正态分布, 经过标准化后服从标准正态分布:

$Z=\frac{(p_1-p_2-(\pi_1-\pi_2))}{\sqrt{\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_1}+\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_2}}} \sim N(0,1)$

则两个总体比例之差$\pi_1-\pi_2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为:

$(p_1-p_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$

上式中使用样本比例$p$来代替未知的总体比例$\pi$.

两个总体方差比的区间估计

一般在比较稳定性, 精度时会使用到方差比进行比较.

两个样本方差比的抽样分布服从$F(n_1-1,n_2-1)$分布, 因此可以用$F$分布来构造方差比的置信区间, 即找到满足下面条件的$F$值:

$F_{1-\alpha/2} \le F \le F_{\alpha/2}$

根据之前得到的方差比的抽样分布, 有$\frac{s^2_1}{s^2_2}\frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1} \sim F(n_1-1,n_2-1)$, 用左侧来代替上式中的$F$值, 得到:

$F_{1-\alpha/2} \le \frac{s^2_1}{s^2_2}\frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1} \le F_{\alpha/2}$

因此得到两个总体的方差比$\frac{\sigma^2_1}{\sigma^2_2}$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为:

$\frac{s^2_1/s^2_2}{F_{\alpha/2}} \le \frac{\sigma^2_1}{\sigma^2_2} \le \frac{s^2_1/s^2_2}{F_{1-\alpha/2}}$