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# 求解线性规划

scipy有直接求解线性规划的方法[scipy.optimize.linprog](https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.linprog.html).

求解线性规划指的是, 对于给定的目标函数, 在一系列线性等式和不等式的约束下, 最小化该目标函数, 得到目标函数在约束下的最小值, 以及该最小值对应的变量向量的值.

公式表示:

$$
\begin{aligned}
\min *{x} c^{T} x \\
\operatorname{such} \text { that } A*{u b} x & \leq b\_{u b} \\
A\_{e q} x &=b\_{e q} \\
l \leq x & \leq u
\end{aligned}
$$

其中的$$x$$是要求解的变量, $$x$$, $$c$$, $$b\_{ub}$$, $$b\_{eq}$$, $$l$$, $$u$$都是向量, $$A\_{ub}$$, $$A\_{eq}$$是矩阵.

有两个点值得注意:

* 求解目标是**最小化目标函数**, 如果原目标是最大化目标函数, 必须进行转化
* 不等式**约束**的方向是固定的, 即上界不等式

## 入参

具体的出入参使用说明文档中更详细, 常用的有:

* **c**: 1D array

  目标函数的参数向量
* **A\_ub**: 2D array, optional

  不等式约束的矩阵. 每行代表一个不等式的参数
* **b\_ub**: 1D array, optional

  不等式约束的值向量. 每个元素表示一个不等式的**上界**, 即必须使用有上界的不等式
* **A\_eq**: 2D array, optional

  恒等式约束的矩阵, 每行代表一个等式的参数
* **b\_eq**: 1D array, optional

  等式约束的值向量, 每个元素表示一个等式的约束值
* **bounds**: sequence, optional

  约束变量向量$$x$$中的每个元素的可能值, `bounds`的长度与$$x$$向量长度相同. 每个元素是一个形如`(min, max)`的tuple, 代表这个元素的最小和最大值.

  另外如果一个元素没有约束, 用`None`指示, 或者只有单向边界, 如(0, None)表示该元素为非负值.
* **method**: {‘interior-point’, ‘revised simplex’, ‘simplex’}, optional

  求解方法, 默认为`interior-point`

## 出参

返回的结果以`OptimizeResult`对象承载, 通过使用其属性获取求解值, 常用的有:

* **res.x**: 1D array

  求解最后得到的解向量
* **res.fun**: float

  求解得到的目标函数的最小值
* **res.success**: bool

  求解结果