0x01 统计量

概念

假设$X_1X_2,\cdots,X_n$是从总体$X$中抽取的容量为$n$的一个样本, 如果由此构造的一个函数$T(X_1X_2,\cdots,X_n)$, 不依赖与任何未知参数, 则称函数$T(X_1X_2,\cdots,X_n)$是一个统计量, 准确的说是样本统计量.

当获取到样本的一组具体观测值$x_1,x_2,\cdots,x_n$时, $T(x_1,x_2,\cdots,x_n)$就是一个具体的统计量的值.

例如, 以下函数是统计量:

• $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$

• $S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$

以下函数不是统计量, 因为期望$E(X)$和方差$D(X)$都是依赖于总体分布的未知参数:

• $\sum\limits_{i=1}^{n}[X_i-E(X)]^2$

• $[X_i-E(X)]/D(X)$

意义

统计量是样本的一个函数.

统计量实际上是对样本所含的总体信息按照某种规则进行加工处理, 把分散在样本中的信息集中到统计量的树枝上.

不同的统计推断问题, 需要构造不同的统计量. 因此统计量是统计推断的基础.

常用统计量

• $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$: 样本均值, 反应总体$X$的数学期望

• $S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$: 样本方差, 反应总体$X$的方差, $S$即为样本标准差

• $V=S/\bar{X}$: 样本变异系数, 反应总体变异系数$C=\sqrt{D(X)}/E(X)$, 而$C$反应出随机变量$X$的离散程度. 此统计量消除了均值不同对不同总体的离散程度的影响, 常用来刻画均值不同时, 不同样本的离散程度

• $m_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k$: 样本$k$阶矩. $m_1=\bar{X}$

• $v_k=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^k$: 样本$k$阶中心矩. $v_2=S^2$

• $\alpha_3=\sqrt{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^3/[\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2]^{3/2}$: 样本偏度. 反映了随机变量的密度函数曲线在众数(密度函数在这一点有最大值)两边的对称偏斜性. 服从正态分布的随机变量的偏度为0

• $\alpha_4=(n-1)\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^4/[\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2]^{2}-3$: 样本峰度. 反应了密度函数曲线的众数附近峰的尖峭程度. 正态分布的峰度为0.