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# 0x01 统计量

## 概念

假设$$X\_1X\_2,\cdots,X\_n$$是从总体$$X$$中抽取的容量为$$n$$的一个样本, 如果由此构造的一个函数$$T(X\_1X\_2,\cdots,X\_n)$$, **不依赖与任何未知参数**, 则称函数$$T(X\_1X\_2,\cdots,X\_n)$$是一个**统计量**, 准确的说是**样本统计量**.

当获取到样本的一组具体观测值$$x\_1,x\_2,\cdots,x\_n$$时, $$T(x\_1,x\_2,\cdots,x\_n)$$就是一个具体的统计量的值.

例如, 以下函数是统计量:

* $$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits\_{i=1}^{n}X\_i$$
* $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^2$$

以下函数不是统计量, 因为期望$$E(X)$$和方差$$D(X)$$都是依赖于总体分布的**未知参数**:

* $$\sum\limits\_{i=1}^{n}\[X\_i-E(X)]^2$$
* $$\[X\_i-E(X)]/D(X)$$

## 意义

统计量是**样本**的一个**函数**.

统计量实际上是对样本所含的**总体信息**按照某种规则进行加工处理, 把分散在样本中的信息集中到统计量的树枝上.

不同的**统计推断**问题, 需要构造不同的统计量. 因此统计量是统计推断的基础.

## 常用统计量

* $$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits\_{i=1}^{n}X\_i$$: **样本均值**, 反应总体$$X$$的数学期望
* $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^2$$: **样本方差**, 反应总体$$X$$的方差, $$S$$即为**样本标准差**
* $$V=S/\bar{X}$$: **样本变异系数**, 反应总体变异系数$$C=\sqrt{D(X)}/E(X)$$, 而$$C$$反应出随机变量$$X$$的离散程度. 此统计量消除了均值不同对不同总体的离散程度的影响, 常用来刻画均值不同时, 不同样本的**离散程度**
* $$m\_k=\frac{1}{n}\sum\limits\_{i=1}^{n}X\_i^k$$: **样本**$$k$$**阶矩**. $$m\_1=\bar{X}$$
* $$v\_k=\frac{1}{n-1}\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^k$$: **样本**$$k$$**阶中心矩**. $$v\_2=S^2$$
* $$\alpha\_3=\sqrt{n-1}\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^3/\[\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^2]^{3/2}$$: **样本偏度**. 反映了随机变量的**密度函数曲线**在**众数**(密度函数在这一点有最大值)两边的**对称偏斜性**. 服从正态分布的随机变量的偏度为0
* $$\alpha\_4=(n-1)\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^4/\[\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^2]^{2}-3$$: **样本峰度**. 反应了密度函数曲线的众数附近**峰**的尖峭程度. 正态分布的峰度为0.