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# \[1025]\[简单]\[动态规划] 除数博弈

## 题目描述

[1025. 除数博弈](https://leetcode-cn.com/problems/divisor-game/)

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。 如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

```
输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。
```

示例 2：

```
输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。
```

提示：

* 1 <= N <= 1000

## 解题思路

明显能感受到动态规划的气息.

题目给定了初始条件$$N=1$$, Alice输, $$N=2$$, Alice赢. 也给出了状态转换方程的思路. 我们将`dp[i]`定义为对于数字`i`, 先手者是不是能赢下比赛. 而题目中的Alice是先手者, 这道题目的的解就是`dp[N]`.

对于数字`i`, 先手者先选择一个`i`的因子`x`, 此时的数字变成了`i - x`, 轮到了后手者行动. 此时的后手者变成了先手者. 而数字`i`的先手者想赢, 就要求`i`存在一个因子`x`, 使得`dp[i-x]`是`False`, 即下一步先手的人必输, 相当于有一个最优解即可.

由于N有限, 首先计算出来完整的状态`dp`, 然后直接取结果即可.

```python
class Solution:
    def __init__(self):
        self.dp = [False] * 1001
        self.dp[2] = True

        for i in range(3, 1001):
            self.dp[i] = any(not self.dp[i - j] for j in range(1, i // 2 + 1) if i % j == 0)

    def divisorGame(self, N: int) -> bool:
        return self.dp[N]
```