[983][中等][动态规划][背包] 最低票价

题目描述

983. 最低票价

在一个火车旅行很受欢迎的国度，你提前一年计划了一些火车旅行。在接下来的一年里，你要旅行的日子将以一个名为 days 的数组给出。每一项是一个从 1 到 365 的整数。

火车票有三种不同的销售方式：

一张为期一天的通行证售价为 costs[0] 美元； 一张为期七天的通行证售价为 costs[1] 美元； 一张为期三十天的通行证售价为 costs[2] 美元。 通行证允许数天无限制的旅行。 例如，如果我们在第 2 天获得一张为期 7 天的通行证，那么我们可以连着旅行 7 天：第 2 天、第 3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。

返回你想要完成在给定的列表 days 中列出的每一天的旅行所需要的最低消费。

示例 1：

输入：days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
输出：11
解释： 
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = $7 买了一张为期 7 天的通行证，它将在第 3, 4, ..., 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 20 天生效。
你总共花了 $11，并完成了你计划的每一天旅行。

示例 2：

输入：days = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,31], costs = [2,7,15]
输出：17
解释：
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划： 
在第 1 天，你花了 costs[2] = $15 买了一张为期 30 天的通行证，它将在第 1, 2, ..., 30 天生效。
在第 31 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 31 天生效。 
你总共花了 $17，并完成了你计划的每一天旅行。

提示：

• 1 <= days.length <= 365

• 1 <= days[i] <= 365

• days 按顺序严格递增

• costs.length == 3

• 1 <= costs[i] <= 1000

解题思路

这是一个完全背包变种的问题.

物品和背包本身都很好定义. 物品就是三种票, 它们的占用的大小为它们的同行天数, 价值为它们的售价, 每种物品都可以使用无数次. 背包容量就是最大天数, 即days数组的最后一个元素, 一张票占用一定的天数. 这是一道求最小价值/花费的问题, 需要将max代替为min.

我们考虑当前的花费如何定义. 如果遍历天的时候, 考虑在当前天购买一张票, 计算到花费中, 那么这些票的有效期限会延伸到后面天中, 在考虑后面天的花费时就需要将前面购买票的剩余有效期, 以及不同票的不同的有效期统统考虑进去, 这种当前选择对产生的后续影响在动态规划/递归中都是不被允许的.

因此遍历到当天时, 将这天的花费定义为之前某天购买的票在这一天有效期结束. 这样在做动态规划时, 我们只需要考虑购买这张票前一天的累计花费, 再加上这张票的花费就是当前的累计花费了. 如果寻找当前这张票购买的前一天时越界, 说明这张票的部分天数浪费了, 因此购买前一天的花费为0.

首先题目中的一天有两种角色:

不去旅行

我们不需要为这一天专门买票, 因此考虑上一天的花费即可.

去旅行

必须买票覆盖. 考虑三种票, 分别找到它们对应的购买票前一天的累计花费, 再加上这张票的花费, 取最小值, 就是这一天的花费了.

传统的背包问题是两层循环, 完成是物品, 内层是背包限制, 即每次考虑一个物品. 但在本问题中, 物品的放入有顺序问题, 不能考虑完一个物品的所有情况, 再考虑下一个. 对于每天, 都需要考察三种票的最优情况, 取最小值.

class Solution:
    def mincostTickets(self, days: List[int], costs: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (days[-1] + 1)
        w = [1, 7, 30]
        next_travel_index = 0

        for i in range(1, days[-1] + 1):
            if i != days[next_travel_index]:
                dp[i] = dp[i - 1]
            else:
                dp[i] = float('inf')
                for j in range(3):
                    dp[i] = min(dp[i], dp[max(i - w[j], 0)] + costs[j])
                next_travel_index += 1
        return dp[-1]