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# \[10]\[困难]\[动态规划] 正则表达式匹配

## 题目描述

[10. 正则表达式匹配](https://leetcode-cn.com/problems/regular-expression-matching/) [剑指 Offer 19. 正则表达式匹配](https://leetcode-cn.com/problems/zheng-ze-biao-da-shi-pi-pei-lcof/)

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 '.' 和 '\*' 的正则表达式匹配。

'.' 匹配任意单个字符 '\*' 匹配零个或多个前面的那一个元素 所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。

说明:

s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。 p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 \*。 示例 1:

```
输入:
s = "aa"
p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。
```

示例 2:

```
输入:
s = "aa"
p = "a*"
输出: true
解释: 因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 'a'。因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。
```

示例 3:

```
输入:
s = "ab"
p = ".*"
输出: true
解释: ".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。
```

示例 4:

```
输入:
s = "aab"
p = "c*a*b"
输出: true
解释: 因为 '*' 表示零个或多个，这里 'c' 为 0 个, 'a' 被重复一次。因此可以匹配字符串 "aab"。
```

示例 5:

```
输入:
s = "mississippi"
p = "mis*is*p*."
输出: false
```

## 解题思路

### 动态规划

状态的定义比较直观, `dp[i][j]`表示字符串`s`的前`i`个字符能否与模式串`p`的前`j`个字符匹配.

状态转移方程有些麻烦. 可以看出`*`字符是特殊的字符, 需要以`p[j] == '*'`与否, 分别讨论.

**p\[j]不为\***

如果`p[j] == '.'`, 那么可以与任何一个字符匹配, 因此有`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]`.

如果`p[j]`为任一字母, 需要判断`p[j]`, `s[i]`是否相等, 如果相等, 则`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]`; 如果不相等, 则`dp[i][j] = False`.

**p\[k]为\***

由于`*`代表的是匹配0次或任意多次, 因此, 分为两种情况讨论, **只要满足其中的任何一种情况**, 即为`True`.

匹配0次的情况, 即跳过当前的`*`字符, 以及前面紧邻的`.`或字母字符. 则有`dp[i][j] = dp[i][j - 2]`

匹配1\~n次的情况, 需要判断`p[j-1]`与`s[i], s[i-1], ...`的字符是否相等, 一直找到不相等的字符为止, 例如`s[i-a]`与`p[j-1]`不相等, 则`dp[i][j] = dp[i-a][j-2]`.

但其实我们只需要比较`p[j-1]`与`s[i]`是否相等, 因此我们是从左到右搜索, 这样`p[j-1]`与`s[i]`之前的字符是否相等, 已经包含在`dp[i-1][j]`中, 而无需向前继续寻找.

因此我们有, 如果`p[j-1]`与`s[i]`相等, 则`dp[i][j] = dp[i - 1][j]`, 否则为`False`.

因此`p[k]`为`*`的情况下, `dp[i][j] = dp[i][j - 2] or (s[i] == p[j - 1] and dp[i - 1][j])`

状态转移方程考虑完毕.

最后考虑下初始状态. 要考虑空字符串和模式串的情况, 因此如果字符串和匹配串的长度分别为`n`和`m`, 那么我们状态矩阵的大小应为`(n + 1, m + 1)`, 各个维度的索引`0`代表空字符串.

则`dp[0][0] = True`, 空字符串肯定是匹配的. `dp[i][0]`肯定是`False`, 因为任何非空字符串肯定与空模式串不匹配. `dp[0][j]`是要注意的情况, 我们对于非`*`位置肯定是`False`, 而`*`位置, 只能考虑不匹配任何字符的情况, 因此有`dp[0][j] = dp[0][j - 2]`. 这样其实遇到第一个连续的非`*`字符, 至此开始, 后续都是False.

整体代码如下:

```python
class Solution:
    def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool:
        n, m = len(s), len(p)
        dp = [[False] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]

        def match(sc, pc):
            return True if pc == '.' else sc == pc

        # 初始化
        dp[0][0] = True
        for j in range(1, m + 1):
            if p[j - 1] == '*':
                dp[0][j] = dp[0][j - 2]

        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, m + 1):
                if p[j - 1] == '*':
                    dp[i][j] = dp[i][j - 2] or (match(s[i - 1], p[j - 2]) and dp[i - 1][j])
                elif match(s[i - 1], p[j - 1]):
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
        print(dp)
        return dp[-1][-1]
```