[375][中等][动态规划] 猜数字大小 II

题目描述

375. 猜数字大小 II

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：

我从 1 到 n 之间选择一个数字，你来猜我选了哪个数字。

每次你猜错了，我都会告诉你，我选的数字比你的大了或者小了。

然而，当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。直到你猜到我选的数字，你才算赢得了这个游戏。

示例:

n = 10, 我选择了8.

第一轮: 你猜我选择的数字是5，我会告诉你，我的数字更大一些，然后你需要支付5块。 第二轮: 你猜是7，我告诉你，我的数字更大一些，你支付7块。 第三轮: 你猜是9，我告诉你，我的数字更小一些，你支付9块。

游戏结束。8 就是我选的数字。

你最终要支付 5 + 7 + 9 = 21 块钱。 给定 n ≥ 1，计算你至少需要拥有多少现金才能确保你能赢得这个游戏。

解题思路

这是一道极小化极大值的问题. 我们的一个猜测, 对于每个真实答案, 对应着不同的成本(当前步猜测耗费相同, 但不同答案对应不同的后续策略). 我们要极大化每个猜测的成本, 然后优化选择策略, 找到极大值中的极小值.

具体参考: 动态规划 C++ 有图解.

class Solution:
    def getMoneyAmount(self, n: int) -> int:
        dp = [[float('inf') for i in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]
        for i in range(1, n + 1):
            dp[i][i] = 0

        for j in range(2, n + 1):  # 终止位
            for i in range(j - 1, 0, -1):  # 起始位
                for k in range(i + 1, j):  # 分割位
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i][k - 1], dp[k + 1][j]) + k)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i + 1][j] + i)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - 1] + j)
        return dp[1][-1]