[873][中等][动态规划] 最长的斐波那契子序列的长度

题目描述

873. 最长的斐波那契子序列的长度

如果序列 X_1, X_2, ..., X_n 满足下列条件，就说它是 斐波那契式 的：

n >= 3 对于所有 i + 2 <= n，都有 Xi + X{i+1} = X_{i+2} 给定一个严格递增的正整数数组形成序列，找到 A 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回 0 。

（回想一下，子序列是从原序列 A 中派生出来的，它从 A 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如， [3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）

示例 1：

输入: [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: 5
解释:
最长的斐波那契式子序列为：[1,2,3,5,8] 。

示例 2：

输入: [1,3,7,11,12,14,18]
输出: 3
解释:
最长的斐波那契式子序列有：
[1,11,12]，[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。

提示：

• 3 <= A.length <= 1000

• 1 <= A[0] < A[1] < ... < A[A.length - 1] <= 10^9

• （对于以 Java，C，C++，以及 C# 的提交，时间限制被减少了 50%）

解题思路

动态规划

这是一种特殊的LIS([300][中等][贪心][二分][动态规划][树状数组] 最长上升子序列)问题. 除了要求递增, 还要求递增的规律符合斐波那契式.

结合[300][中等][贪心][二分][动态规划][树状数组] 最长上升子序列中的动态规划方法. 本题中, 当前数字是否与其之前某两个数构成斐波那契式, 需要记录两个数字. 因此状态数组应当是二维的.

例如, 对于斐波那契式的子序列 A[1] = 2, A[2] = 3, A[4] = 5, A[7] = 8, A[10] = 13, 结点之间的路径为 (1, 2) <-> (2, 4) <-> (4, 7) <-> (7, 10). 我们将两个连续项 A[i], A[j]记为一个点(i, j), 则当A[i] + A[j] == A[k]时, (i, j)节点和(j, k)是连通的.

定义二维状态数组为dp, dp[i][j]代表(i, j)这个节点, 或者换个说法, 以A[i], A[j]为序列结尾的符合斐波那契式最长序列的长度, 则有dp[j][k] = dp[i][j] + 1.

300题动态规划的解法改造为:

class Solution:
    def lenLongestFibSubseq(self, A: List[int]) -> int:
        n = len(A)
        index_map = {a: i for i, a in enumerate(A)}
        dp = [[2] * n for _ in range(n)]
        max_len = 0

        for k in range(n):
            for j in range(k):
                diff = A[k] - A[j]
                i = index_map.get(diff, None)
                if i is not None and i < j:
                    dp[j][k] = dp[i][j] + 1
                    max_len = max(max_len, dp[j][k])
        return max_len