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# 0x02 分布

## 分布种类

### 抽样分布

在总体$$X$$的分布类型已知时, 对任一自然数$$n$$, 都能显式地推导出统计量$$T=T(X\_1,X\_2,\cdots,X\_n)$$分布的数学表达式, 把这种**统计量分布**称为精确的**抽样分布**.

精确的抽样分布大多是在总体为**正态分布**的情况下得到的, 对于**样本量较小**的统计推断问题非常有用.

**统计三大分布**, 就是在总体为正态分布的情况下, 得到的抽样分布:

* $$\chi^2$$分布
* $$t$$分布
* $$F$$分布

### 渐进分布

借助极限工具, 寻求在样本量$$n$$无限增大时, 统计量$$T=T(X\_1,X\_2,\cdots,X\_n)$$的**极限分布**, 这种极限分布作为**抽样分布的一种近似**, 称为**渐进分布**.

这在精确的抽样分布难以求得时有着很大的作用.

例如**中心极限定理**中, 统计量样本均值$$\bar{X}$$的分布就是一种渐进分布, 在统计学中有着重要的地位.

### 随机模拟获得的近视分布

很多问题的抽样分布和渐进分布都是难以求得的, 使用计算机进行随机模拟来获得某种统计量的近似分布.

## 由正态分布导出的重要分布

### $$\chi2$$分布

![](https://images2015.cnblogs.com/blog/539952/201703/539952-20170304154614391-1923543374.jpg)

随机变量$$X\_1,X\_2,\cdots,X\_n$$相互对立, 且$$X\_i(i=1,2,\cdots,n)$$服从**标准正态分布**$$N(0,1)$$, 则它们的平方和$$\sum\limits\_{i=1}^{n}X\_i^2$$服从自由度为$$n$$的$$\chi^2$$分布.

**自由度**可以解释为**独立变量的格式**, 或二次型的秩.

$$\chi^2$$分布有如下的性质:

* 数学期望: $$E(\chi^2)=n$$
* 方差: $$D(\chi^2)=2n$$
* 可加性: 若$$\chi^2\_1\sim\chi^2(n\_1)$$ $$\chi^2\_2\sim\chi^2(n\_2)$$, 且两者独立, 则有$$\chi^2\_1+\chi^2\_2=\chi^2(n\_1+n\_2)$$
* 当自由度增加到足够大时, $$\chi^2$$分布的概率密度函数曲线趋于对称, 且当$$n$$趋于无穷时, $$\chi^2$$分布的极限分布是正态分布.

$$\chi^2$$**分布于正态分布**

$$\chi^2(n)$$的$$p$$分位数$$\chi^2\_p(n)$$可以查卡方分布表获得. $$p$$分位数$$\chi^2\_p(n)$$指的是, 累计密度达到百分比$$p$$时对应的$$\chi^2\_p(n)$$, 而这是一个坐标值$$x$$.

当自由度很大时($$n>45$$), $$\sqrt{2\chi^2(n)}$$近视服从于$$N(\sqrt{2n-1},1)$$, $$\chi^2\_p(n)\approx{\frac{1}{2}(\mu\_p+\sqrt{2n-1})^2}$$, 其中$$\mu\_p$$即为$$z\_p$$, 即正态分布的$$p$$分位数, 因此卡方分布的分位数可以转换为计算正态分布的分位数获得.

### $$t$$分布

![](https://images2015.cnblogs.com/blog/539952/201703/539952-20170304163140751-824359933.jpg)

$$t$$分布也称为**学生氏分布**.

设随机变量$$X\sim N(0,1)$$, $$Y\sim \chi^2(n)$$, 且两者独立, 则构筑一个新的随机变量$$t=\frac{X}{\sqrt{T/n}}$$, 其分布称为$$t$$分布, 记为$$t(n)$$, 其中$$n$$为自由度. $$t$$分布的概率密度函数是偶函数.

有如下的性质:

* 当$$n\ge{2}$$时, $$E(t)=0$$
* 当$$n\ge{3}$$时, $$D(t)=\frac{n}{n-2}$$
* $$t$$分布的概率密度函数与**标准正态分布**相比, 曲线非常相似, 都是单峰偶函数, 只是$$t$$的概率密度函数在两侧的**尾部**要比标准正态分布的两侧尾部粗一些, 且$$t$$分布的方差大一些
* 随着自由度$$n$$的增加, $$t$$分布的概率密度函数越来越接近**标准正态分布**的密度概率函数. 实际应用中, 当$$n\ge{30}$$时, 两者就会非常的接近.
* 自由度为1的$$t$$分布称为**柯西分布**
* $$t$$分布对于**中小样本**有着重要的作用

$$t$$**分布的应用**

* 单个随机变量

  设$$X\_1,X\_2,\cdots,X\_n$$是来自正态分布$$N(\mu,\sigma^2)$$的一个样本, $$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits\_{i=1}^{n}X\_i$$, $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^2$$, 则:

  $$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$$

  即由统计量$$\bar{X}$$和$$S$$构造的上面的随机变量, 服从于自由度为$$n-1$$的$$t$$分布. 自由度为$$n-1$$是因为$$\bar{X}$$是固定的, 少了一个自由度.

  推导如下:

  $$\bar{X}\sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$, 根据$$t$$分布的定义, 将其转为标准正态分布即$$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}\sim N(0,1)$$, 对$$S$$也进行标准化, 得到$$\frac{S^2}{\sigma}\sim N(0,1)$$, 因此按照$$t$$分布的构造公式, 就能得到上面的结果.
* 两个随机变量

  $$X$$和$$Y$$相互独立, $$X\sim N(\mu\_1,\sigma^2)$$, $$Y\sim N(\mu\_2,\sigma^2)$$, $$X\_1,X\_2,\cdots,X\_n$$是来自$$X$$的一个样本, $$Y\_1,Y\_2,\cdots,Y\_m$$是来自$$Y$$的一个样本, 记:

  $$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits\_{i=1}^{n}X\_i$$

  $$\bar{Y}=\frac{1}{m}\sum\limits\_{i=1}^{m}Y\_i$$

  $$S^2\_x=\frac{1}{n-1}\sum\limits\_{i=1}^{n}(X\_i-\bar{X})^2$$

  $$S^2\_y=\frac{1}{m-1}\sum\limits\_{i=1}^{m}(Y\_i-\bar{Y})^2$$

  $$S^2\_{xy}=\frac{(n-1)S^2\_x+(m-1)S^2\_y}{n+m-2}$$

  则有$$\sqrt{\frac{mn}{m+n}}\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu\_1-\mu\_2)}{S^2\_{xy}}\sim t(n+m-2)$$

### $$F$$分布

![](https://images2015.cnblogs.com/blog/539952/201703/539952-20170304165826016-2056523954.jpg)

$$F$$分布主要应用在:

* **方差分析**
* **回归方程的显著性校验**

设随机变量$$Y$$与$$Z$$相互独立, 且$$Y$$和$$Z$$分别服从自由度为$$m$$和$$n$$的$$\chi^2$$分布, 构造随机变量$$X=\frac{Y/m}{Z/n}=\frac{nY}{mZ}$$, 称$$X$$服从第一自由度为$$m$$, 第二自由度为$$n$$的$$F$$分布, 记为$$X\sim F(m,n)$$.

有以下性质:

* $$E(X)=\frac{n}{n-2},\quad n\gt2$$
* $$D(X)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)(n-4)},\quad n\gt4$$
* $$F$$分布的$$p$$分位数$$F\_p(v\_1,v\_2)$$可查$$F$$分布表获得, 且$$F\_p(v\_1,v\_2)=\frac{1}{F\_{1-p}(v\_2,v\_1)}$$
* $$F$$分布和$$t$$分布的关系: 随机变量$$X$$服从$$t(n)$$分布, 则$$X^2$$服从$$F(1,n)$$的$$F$$分布, 这在回归分析的回归系数显著性检验中有用