[174][困难][动态规划] 地下城游戏

题目描述

174. 地下城游戏

一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。

-2(K)	-3	3
-5	-10	1
10	30	-5(P)

说明:

• 骑士的健康点数没有上限。

• 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

解题思路

地下城游戏

如果正向进行动态规划, 我们要更新状态到达i, j结点所需要的初始健康点数, 但这个状态此时是有后效性的. 例如我们假设我们已经得到dp[i][j] = 5, 但val[i + 1][j] = -600且val[i][j + 1] = -600, 即可能的两条路都会扣光当前的血量, dp[i][j]的值与后续过程有关.

但考虑到从终点向起点推导. 状态变为从i, j点出发, 到达终点所需要的最小健康点数. 在终点, 只要保证扣血之后值为1即可. 然后向上向左推导, 要考虑的是经过这一步扣血后, 至少还能走通下方或右方的一套路, 即大于两者中状态的较小者, 对应的状态转移方程为.

$dp[i][j] = \max(\min(dp[i+1][j], dp[i][j + 1]) - \textit{dungeon}(i, j), 1)$

最终dp[0][0]即是从0, 0出发, 到达终点所需要的最小健康点数, 即结果.

class Solution:
    def calculateMinimumHP(self, dungeon: List[List[int]]) -> int:
        m, n = len(dungeon), len(dungeon[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        dp[-1][-1] = max(1, 1 - dungeon[-1][-1])
        for i in range(m - 2, -1, -1):
            dp[i][-1] = max(1, dp[i + 1][-1] - dungeon[i][-1])
        for j in range(n - 2, -1, -1):
            dp[-1][j] = max(1, dp[-1][j + 1] - dungeon[-1][j])

        for i in range(m - 2, -1, -1):
            for j in range(n - 2, -1, -1):
                dp[i][j] = max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j])
        return dp[0][0]