# 0x02 单个总体参数的区间估计

## 总体均值的区间估计

研究一个总体时, 关心:

* 总体均值$$\mu$$
* 总体方差$$\sigma^2$$
* 总体比例$$\pi$$

需要考虑的条件有:

* 总体是否为正态分布
* 总体方差是否已知
* 构造估计量的样本的样本容量($$n\ge30$$为大样本, 反之为小样本)

### 正态总体, 方差已知

### 非正态总体, 大样本

这两种情况是一样的, 可以使用相同的方法进行估计. 这是因为在这两种情况下, 样本均值$$\bar{x}$$的抽样分布为**正态分布**, 均值为$$\mu$$, 方差为$$\sigma^2/n$$, 当总体的方差未知但大样本的情况下, 可以用**样本方差**$$s^2$$代替$$\sigma^2$$.

总体均值$$\mu$$, 在$$1-\alpha$$置信水平下, 置信区间为:

$$\bar{x}\pm z\_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

其中$$\alpha$$为事先确定好的**风险值**, $$1-\alpha$$为**置信水平**, $$z\_{\alpha/2}$$是**标准正态分布**右侧面积为$$\alpha/2$$时的$$z$$值, $$z\_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$是估计总体均值时的**估计误差**.

### 正态总体, 方差未知, 小样本

这时的样本均值$$\bar{x}$$的抽样分布仍是正态分布, 但由于总体的方差未知, 又是小样本, 不能直接使用**样本方差**$$s^2$$代替$$\sigma^2$$. 构造:

$$t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

则样本均值经过**标准化**以后的随机变量服从自由度为$$n-1$$的$$t$$分布. 因此, 使用$$t$$分布连建立总体均值$$\mu$$的置信区间:

$$\bar{x}\pm t\_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

其中$$t\_{\alpha/2}$$是自由度为$$n-1$$的$$t$$分布右侧面积为$$\alpha/2$$时的$$t$$值, 可以通过查表获得.

观察与上面使用正态分布构建置信区间方法, 其单位误差都为$$\frac{s}{\sqrt{n}}$$, 但倍数分别为$$z\_{\alpha/2}$$和$$t\_{\alpha/2}$$, 来自于不同的分布.

## 总体比例的区间估计

只讨论**大样本**情况下总体比例的估计问题. 判断是否为大样本的标准有:

* 区间$$p\pm 2\sqrt{p(1-p)/2}$$不包含0和1
* $$np\ge5$$且$$n(1-p)\ge5$$

当样本量足够大时, 比例$$p$$的抽样分布近似于正态分布. 期望为$$E(p)=\pi$$, 方差为$$\sigma^2\_p=\frac{\pi(1-\pi)}{n}$$, **样本比例**标准化之后服从**标准正态分布**, 即:

$$z=\frac{p-\pi}{\sqrt{\pi(1-\pi)/n}}\sim N(0,1)$$

因此, 总体比例$$\pi$$在$$1-\alpha$$置信水平下的置信区间为:

$$p\pm z\_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}$$

上式要求$$\pi$$是已知的, 但这正是我们要估计的, 因此用样本比例$$p$$来代替$$\pi$$(大样本保证):

$$p\pm z\_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

## 总体方差的区间估计

只讨论正态总体的方差估计问题. 前面表明, 样本方差服从自由度为$$n-1$$的$$\chi^2$$分布, 因此用$$\chi^2$$分布构造总体方差的置信区间.

给定一个显著性水平$$\alpha$$, 则总体方差$$\sigma^2$$的置信区间满足:

$$\chi^2\_{1-\alpha/2}\le\chi^2\le\chi^2\_{\alpha/2}$$

又由于$$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$$, 用左侧的表达式来代替$$\chi^2$$, 有:

$$\chi^2\_{1-\alpha/2}\le\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\le\chi^2\_{\alpha/2}$$

得到置信区间为:

$$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2\_{\alpha/2}}\le\sigma^2\le\frac{(n-1)s^2}{\chi^2\_{1-\alpha/2}}$$
